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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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6. Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
g) ∑n=1∞nln⁡n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2}

Respuesta

Vamos a usar también el Criterio de Cauchy. Pero antes, sólo para que no te confunda, acordate que lo que tenemos es esto:

∑n=1∞nln⁡n2= ∑n=1∞n(ln⁡2)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\ln 2)^n}

Sólo para que lo veas más claro cuando después tengamos que simplificar :)

Ahora si, aplicamos Cauchy:

lim⁡n→∞nln⁡n2n=lim⁡n→∞nnln⁡n2n \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{\ln^n 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\ln^n 2}}

Fijate que abajo entonces podemos simplificar y nos queda:

lim⁡n→∞nnln⁡n2n= lim⁡n→∞nnln⁡2=1ln⁡2>1\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\ln^n 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} > 1

Si pones ese número en la calcu, vas a ver que es mayor a 11. Por lo tanto, Cauchy nos asegura que esta serie diverge.
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