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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2}$
g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2}$
Respuesta
Vamos a usar también el Criterio de Cauchy. Pero antes, sólo para que no te confunda, acordate que lo que tenemos es esto:
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$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\ln 2)^n}$
Sólo para que lo veas más claro cuando después tengamos que simplificar :)
Ahora si, aplicamos Cauchy:
$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{\ln^n 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\ln^n 2}} $
Fijate que abajo entonces podemos simplificar y nos queda:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\ln^n 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} > 1$
Si pones ese número en la calcu, vas a ver que es mayor a $1$. Por lo tanto, Cauchy nos asegura que esta serie diverge.